Integrasi Diferensial

Integral diferensial terdapat yang eksak dan tak eksak, dalam integral diferensial masing-masing terbagi pula menjadi tentu dan tak tentu. Sehingga integral diferensial eksak terdapat integral diferensial eksak tentu dan integral diferensial eksak tak tentu, serta integral diferensial tak eksak juga terdapat hal yang sama yaitu integral diferensial tak eksak tentu dan integral diferensial tak eksak tak tentu. hal tersebut akan dijelaskan di bawah ini:


Integrasi Diferensial Eksak Tertentu

Jika z = z (x, y) merupakan fungsi yang benar-benar ada, maka dz merupakan diferensial eksak. Harga dari dz = (∂z / ∂x)y dx + (∂z / ∂y)x dy. Hasil integrasi diferensial eksak tertentu dz ditunjukkan oleh persamaan 1.10 berikut.

∫ dz = ∫ dz (x, y) = z (xf, yf) – z (xi, yi) = zf – zi = Δ zif . … (1.10)

Indeks i berarti initial (awal) dan indeks f berarti final (akhir). Jadi, hasil akhir dari integrasi diferensial eksak tertentu berwujud bilangan atau nilai tertentu (Δ zif). Dapat dibuktikan, bahwa integrasi diferensial eksak tertentu tidak bergantung pada jalan integrasi dan hanya bergantung pada kondisi awal (i) dan kondisi akhir (f).


Integrasi Diferensial Eksak Tak Tentu

Jika z = z (x, y) merupakan fungsi yang benar-benar ada, maka dz merupakan diferensial eksak. Harga dari dz = (∂z / ∂x)y dx + (∂z / ∂y)x dy. Hasil integrasi diferensial eksak tak tentu dz ditunjukkan oleh persamaan 1.11 berikut.

∫ dz = ∫ dz (x, y) = z (x, y) + C. ……….. (1.11)

Hasil integrasi diferensial eksak tak tentu adalah fungsi aslinya ditambah dengan tetapan integrasi C.


Integrasi Diferensial Tak Eksak Tertentu

Jika A = A (x, y) merupakan fungsi yang benar-benar tidak ada, maka dA merupakan diferensial tak eksak. Harga dari dA = (∂A / ∂x)y dx + (∂A / ∂y)x dy. Hasil integrasi diferensial tak eksak tertentu dz ditunjukkan oleh persamaan I.12 berikut.

∫ dA = ∫ dA (x, y) = A (xf, yf) – A (xi, yi) = Af – Ai = Δ Aif . … (1.12)

Indeks i berarti initial (awal) dan indeks f berarti final (akhir). Jadi, hasil akhir dari integrasi diferensial tak eksak tertentu berwujud bilangan atau nilai tertentu (Δ Aif). Dapat dibuktikan, bahwa integrasi diferensial tak eksak tertentu bergantung pada “jalan” integrasinya.


Integrasi Diferensial Tak Eksak Tak Tentu

Jika A = A (x, y) merupakan fungsi yang benar-benar tidak ada, maka dA merupakan diferensial tak eksak. Harga dari dA = (∂A / ∂x)y dx + (∂A / ∂y)x dy. Hasil integrasi diferensial tak eksak tak tentu dz ditunjukkan oleh persamaan 1.13 berikut.

∫ dA = ∫ dA (x, y) = A (x, y) + C. ……….. (1.13)

Hasil integrasi diferensial tak eksak tak tentu adalah fungsi aslinya ditambah dengan tetapan integrasi C. Namun, karena fungsi asli A = A (x, y) benar-benar tidak ada, maka hasil integrasi ini tidak mungkin.


Sumber: Hamid, Ahmad Abu. 2007. Diktat Kuliah Termodinamika. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta.